光电子学第三章光波导

光电子学考试复习资料

2026-01-20 | 阅读：次

第三章光波导（Optical Waveguides）零基础详细学习笔记

核心结论：本章是光电子学的核心章节，围绕“限制光波横向传播、引导纵向传输”的光波导展开，从基础结构、两类分析理论（射线光学/电磁理论），到平面/圆形波导的模式特性、特征方程、关键参数及应用，覆盖考试所有重点。零基础需重点掌握“结构-理论-公式-计算-应用”的逻辑链，简答聚焦概念定义与物理意义，计算集中于参数求解与模式判断。

一、光波导入门基础（零基础必看）

1.1 什么是光波导？

定义：由“高折射率芯层（core）”和“低折射率包层（cladding）”组成的 dielectric 结构，利用全反射（TIR）将光波限制在芯层及近包层区域，引导其沿纵向（z方向）传播，避免光能量发散。
核心作用：连接光电子器件（如激光器、探测器）、实现光信号传输（光纤通信）、构成有源/无源器件（波导调制器、光栅）。
为什么需要光波导？：自由空间中光会发散，无法长距离传输或精准耦合到器件，光波导通过折射率差异实现“横向约束”，解决这一问题。

1.2 光波导的分类（考试高频简答考点）

1.3 核心基础概念（术语表，必背）

全反射（Total Internal Reflection, TIR）：光从光密介质（n₁）入射到光疏介质（n₂，n₁>n₂），入射角 $θ_i$ > 临界角 $θ_c$ 时，无折射光，仅反射光，且反射系数$

=1$，是光波导约束光的核心原理。

临界角（Critical Angle）：$θ_c = arcsin(n₂/n₁)$，当$θᵢ=θ_c$时，折射角=90°，折射光沿界面传播。
消逝波（Evanescent Wave）：全反射时，光并非完全被反射，会有极弱的光场渗透到包层（深度为“穿透深度”），振幅随距离指数衰减，无能量传输（仅瞬态储能）。
导模（Guided Modes）：满足全反射条件、能在波导中稳定传播的光场模式，场分布沿z方向振幅不变，仅相位变化。
辐射模（Radiation Modes）：不满足全反射条件，光场向包层发散的模式，无法稳定传播。
传播常数（Propagation Constant, β）：描述光沿z方向的相位变化率，$β=k₀n_β$（$k₀=2π/λ$为自由空间波数，$n_β$为有效折射率），导模满足$k₀n₂<β<k₀n₁$（$k₀n₁=k₁，k₀n₂=k₂$）。
有效折射率（Effective Index, n_β）：$n_β=β/k₀$，反映波导对光的等效约束能力，导模满足$n₂<n_β<n₁$。

二、平面波导的射线光学理论（3.1）

2.1 平面波导的结构的结构

基本结构：三层介质（沿x方向分层，y方向无限延伸）
1. 芯层（film/core）：x∈[-d/2, d/2]，折射率n₁（最高），厚度d；
2. 衬底包层（substrate）：x<-d/2，折射率n₂；
3. 覆盖包层（cover）：x>d/2，折射率n₃；
分类：
- 对称平面波导：n₂=n₃（如芯层上下均为空气）；
- 非对称平面波导：n₂≠n₃（如芯层下为硅衬底、上为空气）；
前提假设：波导无损耗、各向同性、非磁性、无源；入射光为单色平面波（频率ω固定）。

2.2 核心原理：全反射与射线传播

2.2.1 全反射的详细条件与现象

三要素：
1. 折射率关系：n₁>n₂≥n₃（芯层>包层）；
2. 入射角条件：θᵢ>θ₂c（θ₂c=sin⁻¹(n₂/n₁)为芯层-衬底临界角），且θᵢ>θ₃c（θ₃c=sin⁻¹(n₃/n₁)为芯层-覆盖层临界角）；
3. 偏振影响：TE偏振（电场垂直入射面）和TM偏振（电场平行入射面）的反射相位偏移不同，后续影响特征方程。
全反射的两个关键结果：
1. 反射系数 r =1：光能量完全反射，无透射损耗；
2. 相位偏移（φ）：并非反射后相位不变，TE/TM偏振的相位偏移φ_TE、φ_TM不同，公式如下：
  - TE偏振：tanφ_TE = √(n₁²sin²θᵢ - n₂²) / (n₁cosθᵢ) = √(β² - k₀²n₂²) / √(k₀²n₁² - β²)
  - TM偏振：tanφ_TM = (n₁²/n₂²) × √(n₁²sin²θᵢ - n₂²) / (n₁cosθᵢ) = (n₁²/n₂²) × √(β² - k₀²n₂²) / √(k₀²n₁² - β²)
  - 注：φ的单位为弧度，影响后续“相位匹配条件”。

2.2.2 射线的传播模式（导模vs辐射模）

2.3 导模的核心：相位匹配与特征方程

2.3.1 为什么需要特征方程？

导模并非所有满足θᵢ>θ₂c的入射角都能存在！光沿“之字形”传播时，相邻两次反射的光需满足“相位匹配”——即总相位差为2mπ（m=0,1,2,…，整数倍），否则会相互干涉抵消，无法形成稳定模式。

2.3.2 特征方程推导（关键步骤）

光程差计算：光在芯层中传播一段距离，横向（x方向）往返的光程差为：ΔL = 2dcosθᵢ（d为芯层厚度，cosθᵢ是横向光程的投影系数）；
相位差贡献：
- 光程差对应的相位差：Δφ₁ = k₀n₁×ΔL = 2k₀n₁dcosθᵢ（k₀=2π/λ，λ为光波长）；
- 两次全反射的相位偏移：Δφ₂ = 2φ₁₂ + 2φ₁₃（φ₁₂是芯层-衬底反射的相位偏移，φ₁₃是芯层-覆盖层反射的相位偏移）；
相位匹配条件：总相位差需为2mπ（干涉加强），即： Δφ₁ - Δφ₂ = 2mπ → 2k₀n₁dcosθᵢ - 2(φ₁₂+φ₁₃) = 2mπ → k₀n₁dcosθᵢ - φ₁₂ - φ₁₃ = mπ
代入相位偏移公式：结合TE/TM的φ表达式，最终得到特征方程（考试核心公式，必须背会）：

（1）TE模式特征方程

$h_1 d = m\pi + tan^{-1}\left(\frac{\gamma_2}{h_1}\right) + tan^{-1}\left(\frac{\gamma_3}{h_1}\right)$ 或等价形式： $tan(h_1 d) = \frac{h_1(\gamma_2 + \gamma_3)}{h_1^2 - \gamma_2 \gamma_3}$

（2）TM模式特征方程

$tan(h_1 d) = \frac{n_1^2 h_1 \left(n_3^2 \gamma_2 + n_2^2 \gamma_3\right)}{n_2^2 n_3^2 h_1^2 - n_1^4 \gamma_2 \gamma_3}$

2.3.3 特征方程中关键参数定义（符号必须记准）

| 参数 | 公式 | 物理意义 | |————|—————————————|————————————————————————–| | h₁ | ( h_1 = \sqrt{k_0^2 n_1^2 - \beta^2} ) | 芯层中横向（x方向）传播常数，实数（因β<k₀n₁），描述光在芯层的横向振荡特性 | | γ₂ | ( \gamma_2 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2} ) | 衬底中衰减系数，实数（因β>k₀n₂），描述消逝波在衬底的衰减速率 | | γ₃ | ( \gamma_3 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_3^2} ) | 覆盖层中衰减系数，实数（因β>k₀n₃），描述消逝波在覆盖层的衰减速率 | | k₀ | ( k_0 = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c} ) | 自由空间波数，λ为光波长，c为真空中光速（3×10⁸m/s），ω为角频率 | | β | ( \beta = k_0 n_1 sin\theta_i ) | 纵向传播常数，与入射角θᵢ直接相关，核心待求参数 | | m | m=0,1,2,… | 模式阶数，m=0为基模（fundamental mode），m≥1为高阶模（high-order mode） |

2.4 关键衍生参数（考试计算核心）

2.4.1 有效折射率（n_β）

公式：( n_\beta = \frac{\beta}{k_0} = n_1 sin\theta_i )
物理意义：等效描述光波导中光的传播速度，( v_p = \frac{c}{n_\beta} )（相速度）；
范围：$n₂ < n_β < n₁$（导模专属，辐射模$n_β < n₂$）。

2.4.2 归一化频率（V）

公式：( V = k_0 d \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2} )
物理意义：综合“波长、芯层厚度、折射率差”的无量纲参数，决定波导支持的模式数量；
关键结论：V越大，支持的模式越多（多模波导）；V越小，模式越少（单模波导）。

2.4.3 归一化导模折射率（b）

公式：( b = \frac{n_\beta^2 - n_2^2}{n_1^2 - n_2^2} = \frac{\beta^2 - k_0^2 n_2^2}{k_0^2(n_1^2 - n_2^2)} )
物理意义：描述导模与包层的“折射率差异程度”，范围0 < b < 1（导模），b=0为截止状态。

2.4.4 不对称因子（a）

公式：( a = \frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2} )
物理意义：描述平面波导的不对称程度，对称波导（n₂=n₃）时a=0，非对称波导a>0。

2.5 截止条件（考试高频考点）

2.5.1 什么是截止？

导模 → 辐射模的临界状态：当β=k₀n₂（n_β=n₂）时，γ₂=0（衬底中衰减系数为0），光在芯层-衬底界面不再全反射，开始折射，此时的参数（波长、厚度、频率）称为“截止参数”。

2.5.2 截止波长（$λ_m^c$）

定义：对应截止状态的波长，当$λ>λ_m^c$时，$V<V_m^c$（截止归一化频率），模式变为辐射模；当$λ<λ_m^c$时，$V>V_m^c$，模式为导模；
公式（TE模式）：( \lambda_m^c = \frac{2\pi d \sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{V_m^c} )，其中( V_m^c = m\pi + tan^{-1}\sqrt{a} )（截止归一化频率）；
关键结论：
- 对称波导（a=0）：基模（m=0）$V₀^c=0 → λ₀^c→∞$，基模永远不截止；
- 非对称波导（a>0）：基模有截止波长，$λ>λ₀^c$时基模也会变成辐射模。

2.5.3 截止厚度（$d_m^c$）

定义：对应截止状态的芯层厚度，d«d_m^c时模式截止；
公式：( d_m^c = \frac{\lambda V_m^c}{2\pi \sqrt{n_1^2 - n_2^2}} )

2.6 模式数量判断（计算题必考）

核心公式（TE模式数量）：( M_{TE} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} tan^{-1}\sqrt{a} \right]_{int} )
核心公式（TM模式数量）：( M_{TM} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} tan^{-1}\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \sqrt{a} \right) \right]_{int} )
说明：[ ]_int表示“向下取整”，V为归一化频率，a为不对称因子；
示例：若计算得M_TE=4.2，则实际支持4个TE模式（TE₀~TE₃）。

二、平面波导的电磁理论（3.2）

2.1 核心逻辑：从麦克斯韦方程组出发

射线光学理论是“几何近似”，适合定性分析；电磁理论基于麦克斯韦方程组，是精确描述，能推导场分布、正交性等关键特性，考试简答/计算均需掌握。

2.2 前提假设

纵向均匀波导：n(x,y)不随z变化，场分量可表示为“横向分布×纵向相位因子”： $E(r,t) = \mathcal{E}(x,y) exp[i(\beta z - \omega t)]$ $H(r,t) = \mathcal{H}(x,y) exp[i(\beta z - \omega t)]$ 其中，( \mathcal{E}(x,y) )、( \mathcal{H}(x,y) )是横向场分布（与z无关），( exp[i(\beta z - \omega t)] )描述纵向传播。
无损耗、各向同性、非磁性：$μ=μ₀$（真空磁导率），$ε=ε₀n²$（介电常数与折射率平方成正比）。

2.3 场分量关系（核心公式）

通过麦克斯韦方程组推导，横向分量（Eₓ、Eᵧ、Hₓ、Hᵧ）可由纵向分量（E_z、H_z）完全表示，无需单独求解所有分量： $(k^2 - \beta^2) \mathcal{E}_x = i\beta \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial x} + i\omega \mu_0 \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial y}$ $(k^2 - \beta^2) \mathcal{E}_y = i\beta \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial y} - i\omega \mu_0 \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial x}$ $(k^2 - \beta^2) \mathcal{H}_x = i\beta \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial x} - i\omega \varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial y}$ $(k^2 - \beta^2) \mathcal{H}_y = i\beta \frac{\partial \mathcal{H}_z}{\partial y} + i\omega \varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}_z}{\partial x}$

说明：k=k₀n（介质中的波数），核心结论——只要找到E_z和H_z，就能得到所有场分量。

2.4 模式分类（基于纵向分量）

2.5 波动方程与场分布

2.5.1 波动方程推导

由麦克斯韦方程组推导，纵向分量E_z和H_z满足亥姆霍兹方程： $\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \mathcal{E}_z + (k^2 - \beta^2) \mathcal{E}_z = 0$ $\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \mathcal{H}_z + (k^2 - \beta^2) \mathcal{H}_z = 0$

2.5.2 平面波导的场分布（TE模式示例）

平面波导中y方向无约束（∂/∂y=0），波动方程简化为一维：

芯层（x∈[-d/2,d/2]）：k₁² - β² = h₁² > 0，方程解为振荡函数（余弦/正弦）： $\mathcal{E}_y(x) = C_{TE} \cos(h_1 x - \psi)$（ψ为相位常数，由边界条件确定）
衬底（x<-d/2）：k₂² - β² = -γ₂² < 0，方程解为指数衰减函数（消逝波）： $\mathcal{E}_y(x) = C_{TE} \cos(h_1 d/2 + \psi) \exp[\gamma_2(x + d/2)]$
覆盖层（x>d/2）：k₃² - β² = -γ₃² < 0，方程解为指数衰减函数（消逝波）： $\mathcal{E}_y(x) = C_{TE} \cos(h_1 d/2 - \psi) \exp[-\gamma_3(x - d/2)]$
物理意义：芯层中光场振荡，包层中光场指数衰减，能量主要集中在芯层。

2.6 边界条件（波动方程求解关键）

芯层与包层界面（$x=±d/2$）处，场需满足“连续条件”（源于麦克斯韦方程组的边界条件）：

TE模式：$E_y$（切向电场）和$∂E_y/∂x$（与H_z成正比，切向磁场相关）连续；
TM模式：$H_y$（切向磁场）和$∂H_y/∂x$（与E_z成正比，切向电场相关）连续；
作用：代入边界条件可确定相位常数ψ和特征方程，与射线光学理论得到的特征方程一致（验证理论正确性）。

2.7 模式的正交性（简答考点）

2.7.1 正交性定义

无损耗波导中，不同导模（v和μ）的功率积分满足： $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \mathcal{E}_v \times \mathcal{H}_\mu^\ast + \mathcal{E}_\mu^\ast \times \mathcal{H}_v \right) \cdot \hat{z} dxdy = \pm P_v \delta_{v\mu}$

说明：$δ_{vμ}$为克罗内克函数，$v=μ$时$δ=1$，$v≠μ$ 时 $δ=0$；$P_v$ 为模式 $v$ 的功率；
2.7.2 物理意义
不同模式之间无功率耦合：光在波导中传播时，各模式的能量相互独立，不会从一个模式转移到另一个模式；
模式展开：任意光场可表示为各导模的线性组合，正交性是展开的数学基础。

三、阶跃折射率平面波导（3.3）：考试计算重点

阶跃折射率平面波导是“芯层/包层折射率突变”的平面波导，分为对称和非对称两类，是考试计算的核心载体。

3.1 对称阶跃平面波导（n₂=n₃）

3.1.1 核心特点

不对称因子a=0，γ₂=γ₃，特征方程简化： TE模式：( tan\left( \frac{h₁d}{2} - \frac{m\pi}{2} \right) = \frac{\gamma₂}{h₁} )
截止条件：基模（m=0）$V₀^c=0$，无截止波长，永远是导模；高阶模（m≥1）$V_m^c = mπ$；
单模条件：V < π（仅支持TE₀、TM₀两个模式，因TE/TM模式简并）。

3.1.2 约束因子（Γ）：功率 confinement 程度

定义：导模功率在芯层的占比，( \Gamma = \frac{P_{core}}{P_{total}} )（P_core为芯层功率，P_total为总功率）；
公式（TE基模）：( \Gamma_{TE0} \approx \frac{V²}{2 + V²} )（误差<1.5%，简化计算）；
物理意义：Γ越接近1，光能量越集中在芯层，约束效果越好；V越大，Γ越接近1。

3.2 非对称阶跃平面波导（n₂≠n₃）

3.2.1 核心特点

特征方程无简化，需用原始公式求解；
截止条件：所有模式（包括基模）均有截止波长，V<V_m^c时模式截止；
模式数量：TE和TM模式数量不同（因TM模式的截止V_m^c更大），需分别计算。

3.3 计算题示例：模式数量与截止厚度（考试真题难度）

例题：非对称阶跃平面波导，芯层n₁=1.77，衬底n₂=1.45，覆盖层n₃=1，芯层厚度d=2μm，光波长λ=1μm，求：

（1）归一化频率V；（2）TE/TM模式数量；（3）TM₃模式的截止厚度d_c。

解答步骤：

计算V（归一化频率）： $V = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n₁² - n₂²} = \frac{2\pi×2}{1}×\sqrt{1.77² - 1.45²} ≈ 12.76$
计算不对称因子a（TE模式）和a_M（TM模式）： $a_E = \frac{n₂² - n₃²}{n₁² - n₂²} = \frac{1.45² - 1²}{1.77² - 1.45²} ≈ 1.07$ $a_M = \frac{n₁⁴}{n₃⁴}×a_E = 1.77⁴×1.07 ≈ 10.5$
计算模式数量：
- TE模式：( M_{TE} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{a_E} \right]{int} = \left[ \frac{12.76}{\pi} - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{1.07} \right]{int} ≈ [4 - 0.255]_{int} = 4 )（TE₀~TE₃）
- TM模式：( M_{TM} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{a_M} \right]{int} = \left[ 4 - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{10.5} \right]{int} ≈ [4 - 0.405]_{int} = 4 )（TM₀~TM₃）
计算TM₃模式的截止厚度d_c：
- TM模式截止归一化频率：( V_{3}^{c} = tan^{-1}\sqrt{a_M} + 3\pi ≈ tan^{-1}\sqrt{10.5} + 3\pi ≈ 1.27 + 9.42 = 10.69 )
- 截止厚度：( d_c = \frac{\lambda V_{3}^{c}}{2\pi\sqrt{n₁² - n₂²}} = \frac{1×10.69}{2\pi×\sqrt{1.77² - 1.45²}} ≈ 1.68μm )

结论：

（1）V≈12.76；（2）4个TE模式、4个TM模式；（3）TM₃截止厚度≈1.68μm，当d<1.68μm时TM₃截止。

四、阶跃折射率圆形波导（3.4）：光纤核心

圆形波导即“光纤（Optical Fiber）”，是最常用的光波导，核心结构为“圆柱形芯层（n₁）+ 圆柱形包层（n₂）”，应用于光纤通信、传感等，考试重点为单模光纤特性。

4.1 光纤的基本结构与参数

4.1.1 结构

芯层：半径a，n₁；包层：半径b（b>a），n₂（n₁>n₂）；涂覆层：保护光纤，不参与光传输；
关键参数：相对折射率差( \Delta = \frac{n₁ - n₂}{n₁} )（单模光纤Δ≈10⁻³，多模光纤Δ≈1%）。

4.1.2 核心参数（与平面波导对应，需对比记忆）

| 参数 | 公式 | 物理意义 | |——————–|—————————————|————————————————————————–| | 归一化频率（V） | ( V = \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{n₁² - n₂²} ) | 决定光纤支持的模式数量，单模光纤V<2.405 | | 数值孔径（NA） | ( NA = \sqrt{n₁² - n₂²} = sin\theta_m ) | 描述光纤的“收光能力”，θ_m为最大接收角（入射光θ≤θ_m才能耦合为导模） | | 有效折射率（n_eff）| ( n_{eff} = \frac{\beta}{k_0} ) | 描述光纤中光的传播速度，n₂ < n_eff < n₁ |

4.2 光纤的模式分类

4.2.1 为什么有混合模？

圆形波导是x、y双向约束，场分量与角坐标φ相关，E_z和H_z无法完全 decouple，因此存在混合模（HEₘₙ、EHₘₙ）：

HEₘₙ：H_z主导（横向磁场分量强）；
EHₘₙ：E_z主导（横向电场分量强）；
m=0时：退化为TE₀ₙ（E_z=0）、TM₀ₙ（H_z=0）模式（无角向变化）。

4.2.2 弱导近似与LP模式（零基础重点）

实际光纤的相对折射率差Δ很小（Δ«1），称为“弱导光纤”，可做“ scalar 近似”，将复杂的混合模简化为线偏振模（LPₘₙ），方便分析：

LPₘₙ：横向电场近似为线偏振，m为角向模式指数（对应φ方向的强度极大值数量的一半），n为径向模式指数（对应r方向的强度极大值数量）；
核心结论：单模光纤的基模是LP₀₁（对应HE₁₁模式），无截止波长；
单模条件：V < 2.405（仅支持LP₀₁模式，因次高阶模LP₁₁的截止V_c=2.405）。

4.3 光纤的色散（考试简答高频考点）

4.3.1 什么是色散？

光信号由不同频率/模式组成，不同频率/模式的传播速度不同，导致信号脉冲在传输中展宽，限制通信带宽，这一现象称为色散。

4.3.2 色散分类

4.3.3 零色散波长（λ₀）

定义：材料色散与波导色散相互抵消，总色散D=0的波长；
标准单模光纤（G.652）：λ₀≈1310nm，在1550nm处色散D≈17ps/(nm·km)；
色散位移光纤（G.653）：通过设计芯层半径和折射率分布，将λ₀移至1550nm（低损耗窗口），实现“低损耗+零色散”。

4.4 光纤计算题示例：单模判断与脉冲展宽

例题：标准单模光纤，芯层半径a=4.7μm，n₁=1.4628，n₂=1.4600，光波长λ=1550nm，求：

（1）该光纤是否为单模？（2）若用于传输10Gb/s信号，传输距离L=100km，群速度色散D=17ps/(nm·km)，信号光谱带宽Δλ=0.075nm，求脉冲展宽Δτ。

解答步骤：

计算归一化频率V： $V = \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{n₁² - n₂²} = \frac{2\pi×4.7}{1550×10^{-9}}×\sqrt{1.4628² - 1.4600²} ≈ 2.0 < 2.405$ 结论：是单模光纤。
计算脉冲展宽Δτ：脉冲展宽公式（群速度色散导致）：( \Deltaτ = D×L×\Deltaλ ) 代入数据：( \Deltaτ = 17×100×0.075 = 127.5ps )

结论：

（1）是单模光纤；（2）脉冲展宽≈128ps，需确保展宽小于脉冲宽度（10Gb/s信号脉冲宽度≈100ps，需优化色散补偿）。

五、选学内容（3.5-3.6）：考试低频考点

5.1 渐变折射率波导（Graded-index Waveguide）

核心特点：芯层折射率沿横向渐变（如抛物线型 (n(x) = n₁[1 - Δ(x/d)²])）；
优势：射线沿正弦曲线传播，减少模式色散（多模渐变光纤的带宽远大于多模阶跃光纤）；
考试要求：了解“渐变折射率可减少模式色散”即可，无需掌握复杂公式。

5.2 沟道波导（Channel Waveguide）

核心特点：x、y双向约束（如条形、埋入式结构），用于集成光电子芯片（如波导调制器、耦合器）；
考试要求：了解“双向约束”的结构特点，无需深入推导。

六、考试重点汇总（简答+计算）

6.1 简答题高频考点（完整回答思路）

什么是光波导？其核心结构与工作原理是什么？
- 定义：高折射率芯层+低折射率包层的 dielectric 结构；
- 结构：芯层（n₁）、包层（n₂<n₁）；
- 原理：利用全反射（TIR）将光约束在芯层，引导纵向传播。
平面波导为什么没有混合模？
- 平面波导仅x方向约束，y方向无约束（∂/∂y=0）；
- 场分量与y无关，E_z和H_z完全解耦，仅存在TE（E_z=0）和TM（H_z=0）模式，无混合模。
单模光纤的判据是什么？其基模是什么？
- 判据：归一化频率V < 2.405；
- 基模：LP₀₁模式（对应HE₁₁混合模），无截止波长。
光纤的色散有哪些类型？如何实现零色散？
- 类型：模式色散、材料色散、波导色散；
- 零色散：通过波导色散补偿材料色散，使总色散D=0（如色散位移光纤）。

6.2 计算题高频考点（公式+步骤）

归一化频率V计算：( V = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n₁² - n₂²} )（平面波导）/ ( V = \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{n₁² - n₂²} )（光纤）；
模式数量判断：代入M_TE、M_TM公式，向下取整；
截止波长/厚度计算：( \lambda_m^c = \frac{2\pi d \sqrt{n₁² - n₂²}}{V_m^c} ) / ( d_m^c = \frac{\lambda V_m^c}{2\pi \sqrt{n₁² - n₂²}} )；
光纤脉冲展宽：( \Deltaτ = D×L×\Deltaλ )；
约束因子Γ计算：对称平面波导TE基模用简化公式( \Gamma≈\frac{V²}{2+V²} )。

七、零基础学习建议

先记结构与概念：明确“芯层/包层”“全反射”“导模/辐射模”的物理意义，避免死记公式；
公式分模块记忆：将公式按“平面波导参数”“特征方程”“光纤参数”“计算类”分类，结合例题理解；
多练计算题：重点练“V计算→模式判断→截止参数”的逻辑链，掌握代入数据的技巧；
简答踩关键词：回答时包含“定义+结构+原理+结论”，如“单模光纤”需答判据、基模、特点。

第三章重点知识点整理

包含4个核心模块，覆盖考试所有高频考点，逻辑链：V计算→模式判断/截止参数/传播常数

一、核心术语表（中英对照+物理意义）

二、核心公式大全（分类整理+符号说明）

（一）基础参数公式

| 公式 | 符号说明 | |—————————————|————————————————————————–| | ( k_0 = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c} ) | (k₀)：自由空间波数；(λ)：光波长；ω：角频率；c：真空中光速（3×10⁸m/s） | | ( n_\beta = \frac{\beta}{k_0} = n_1 sin\theta_i ) | (n_β)：有效折射率；(β)：传播常数；(θ_i)：入射角 | | ( V = k_0 d \sqrt{n_1^2 - n_2^2} )（平面波导） | (V)：归一化频率；(d)：芯层厚度；n₁：芯层折射率；n₂：包层折射率 | | ( V = k_0 a \sqrt{n_1^2 - n_2^2} )（光纤） | (a)：光纤芯层半径 | | ( NA = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = sin\theta_m ) | (NA)：数值孔径；(θ_m)：最大接收角 | | ( \Delta = \frac{n_1 - n_2}{n_1} )（相对折射率差） | (Δ)：弱导光纤中Δ≈10⁻³ |

（二）特征方程（核心考点）

1. 平面波导特征方程

| 模式类型 | 特征方程 | |———-|————————————————————————–| | TE模式 | ( h_1 d = m\pi + tan^{-1}\left(\frac{\gamma_2}{h_1}\right) + tan^{-1}\left(\frac{\gamma_3}{h_1}\right) ) | | | 等价形式：( tan(h_1 d) = \frac{h_1(\gamma_2 + \gamma_3)}{h_1^2 - \gamma_2 \gamma_3} ) | | TM模式 | ( tan(h_1 d) = \frac{n_1^2 h_1(n_3^2 \gamma_2 + n_2^2 \gamma_3)}{n_2^2 n_3^2 h_1^2 - n_1^4 \gamma_2 \gamma_3} ) | | 符号定义 | ( h_1 = \sqrt{k_0^2 n_1^2 - \beta^2} )（芯层横向传播常数）；( \gamma_2 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2} )（衬底衰减系数）；( \gamma_3 = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_3^2} )（覆盖层衰减系数）；m=0,1,2,…（模式阶数） |

2. 光纤（LP模式）特征方程

$\frac{h a J_{m-1}(h a)}{J_m(h a)} = -\frac{\gamma a K_{m-1}(\gamma a)}{K_m(\gamma a)}$

符号定义：( h = \sqrt{k_0^2 n_1^2 - \beta^2} )；( \gamma = \sqrt{\beta^2 - k_0^2 n_2^2} )；J_m：第一类贝塞尔函数；K_m：第二类修正贝塞尔函数；m：角向模式指数；n：径向模式指数

（三）截止条件公式

| 应用场景 | 公式 | |————————|———————————————————————-| | 平面波导TE模式截止波长 | ( \lambda_m^c = \frac{2\pi d \sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{V_m^c} )，其中( V_m^c = m\pi + tan^{-1}\sqrt{a} ) | | 平面波导截止厚度 | ( d_m^c = \frac{\lambda V_m^c}{2\pi \sqrt{n_1^2 - n_2^2}} ) | | 光纤单模条件 | ( V < 2.405 )（仅支持LP₀₁模式） | | 符号定义 | a：不对称因子（( a = \frac{n_2^2 - n_3^2}{n_1^2 - n_2^2} )）；V_m^c：截止归一化频率 |

（四）计算类核心公式

| 计算类型 | 公式 | |————————|———————————————————————-| | 模式数量（TE） | ( M_{TE} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} tan^{-1}\sqrt{a} \right]{int} ) | | 模式数量（TM） | ( M{TM} = \left[ \frac{V}{\pi} - \frac{1}{\pi} tan^{-1}\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \sqrt{a} \right) \right]{int} ) | | 约束因子（TE基模） | ( \Gamma{TE0} \approx \frac{V^2}{2 + V^2} )（对称平面波导，误差<1.5%） | | 光纤脉冲展宽 | ( \Delta\tau = D \cdot L \cdot \Delta\lambda )（D：群速度色散；L：传输距离；Δλ：光谱带宽） |

三、10道计算题（含详细解析）

题型1：模式数量判断（必考）

题目1：非对称平面波导，n₁=1.77，n₂=1.45，n₃=1，d=2μm，λ=1μm，求TE、TM模式数量。

解析步骤：

计算归一化频率V： $V = \frac{2\pi d}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \frac{2\pi×2}{1}×\sqrt{1.77²-1.45²}≈12.76$
计算不对称因子a_E（TE）、a_M（TM）： $a_E = \frac{n_2² - n_3²}{n_1² - n_2²} = \frac{1.45²-1²}{1.77²-1.45²}≈1.07$ $a_M = \frac{n_1⁴}{n_3⁴}×a_E = 1.77⁴×1.07≈10.5$
计算模式数量（向下取整）： $M_{TE} = \left[ \frac{12.76}{\pi} - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{1.07} \right]_{int}≈[4-0.255]_{int}=4$ $M_{TM} = \left[ \frac{12.76}{\pi} - \frac{1}{\pi}tan^{-1}\sqrt{10.5} \right]_{int}≈[4-0.405]_{int}=4$ 答案：4个TE模式（TE₀~TE₃），4个TM模式（TM₀~TM₃）。

题型2：截止厚度计算

题目2：承接题目1，求TM₃模式的截止厚度d_c。

解析步骤：

TM₃模式截止归一化频率： $V_3^c = tan^{-1}\sqrt{a_M} + 3\pi≈tan^{-1}\sqrt{10.5}+9.42≈1.27+9.42=10.69$
截止厚度公式： $d_c = \frac{\lambda V_3^c}{2\pi\sqrt{n_1² - n_2²}} = \frac{1×10.69}{2\pi×\sqrt{1.77²-1.45²}}≈1.68μm$ 答案：TM₃模式截止厚度≈1.68μm，d<1.68μm时该模式截止。

题型3：光纤单模判断

题目3：光纤n₁=1.4628，n₂=1.4600，芯层半径a=4.7μm，λ=1550nm，判断是否为单模光纤。

解析步骤：

计算归一化频率V： $V = \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{n_1² - n_2²} = \frac{2\pi×4.7}{1550×10^{-9}}×\sqrt{1.4628²-1.4600²}≈2.0$
单模条件：V<2.405，2.0<2.405，满足单模条件。答案：是单模光纤，仅支持LP₀₁（HE₁₁）模式。

题型4：传播常数与有效折射率

题目4：对称平面波导n₁=1.5，n₂=1.46，d=2μm，λ=1.5μm，求TE₀模式的n_β（提示：V<π，用约束因子简化公式）。

解析步骤：

计算V： $V = \frac{2\pi×2}{1.5}×\sqrt{1.5²-1.46²}≈0.92\pi≈2.89$
约束因子Γ≈V²/(2+V²)=2.89²/(2+2.89)≈8.35/4.89≈1.71（此处Γ>1，说明用简化公式，直接通过V求n_β）： $V = k_0 d \sqrt{n_1² - n_β²} \to n_β = \sqrt{n_1² - \left(\frac{V}{k_0 d}\right)^2}$ $k_0 = 2\pi/1.5×10^{-6}≈4.189×10^6 m^{-1}$ $\frac{V}{k_0 d} = 2.89/(4.189×10^6×2×10^{-6})≈2.89/8.378≈0.345$ $n_β = \sqrt{1.5² - 0.345²}≈\sqrt{2.25-0.119}≈\sqrt{2.131}≈1.46$ 答案：TE₀模式的有效折射率 (n_β≈1.46)。

题型5：光纤脉冲展宽

题目5：10Gb/s信号在λ=1500nm的单模光纤中传输，L=100km，D=17ps/(nm·km)，Δλ=0.075nm，求脉冲展宽Δτ。

解析步骤：

脉冲展宽公式：(Δτ=D×L×Δλ)
代入数据：(Δτ=17×100×0.075=127.5ps≈128ps) 答案：脉冲展宽≈128ps。

题型6：截止波长计算

题目6：非对称平面波导n₁=1.6，n₂=1.5，n₃=1，d=1μm，求TE₀模式的截止波长λ₀^c。

解析步骤：

不对称因子(a_E=(1.5²-1²)/(1.6²-1.5²)=(2.25-1)/(2.56-2.25)=1.25/0.31≈4.03)
截止归一化频率(V₀^c=tan⁻¹√a_E=tan⁻¹√4.03≈tan⁻¹2.01≈1.11rad)
截止波长：(λ₀^c=2πd√(n₁²-n₂²)/V₀^c=2π×1×√(1.6²-1.5²)/1.11≈2π×0.557/1.11≈3.17μm) 答案：TE₀模式截止波长≈3.17μm。

题型7：对称平面波导模式判断

题目7：对称平面波导n₁=1.5，n₂=1.46，d=2μm，λ=1.3μm，判断是单模还是多模。

解析步骤：

计算V：(V=2π×2/1.3×√(1.5²-1.46²)≈(12.31)/1.3×0.109≈1.06π≈3.33)
对称平面波导单模条件：(V<π≈3.14，3.33>3.14)，为多模。答案：多模 waveguide，支持TE₀、TE₁、TM₀、TM₁模式。

题型8：数值孔径计算

题目8：光纤n₁=1.5，n₂=1.48，求NA和最大接收角θ_m。

解析步骤：

(NA=√(n₁²-n₂²)=√(1.5²-1.48²)=√(2.25-2.1904)=√0.0596≈0.244)
(θ_m=sin⁻¹(NA)=sin⁻¹(0.244)≈14.1°) 答案：(NA≈0.244)，最大接收角≈14.1°。

题型9：约束因子计算

题目9：对称平面波导n₁=1.5，n₂=1.46，d=2μm，λ=1.5μm，求TE₀模式的约束因子Γ。

解析步骤：

之前计算(V≈2.89)
(Γ=V²/(2+V²)=2.89²/(2+8.35)≈8.35/10.35≈0.807) 答案：约束因子(Γ≈0.81)（81%的功率集中在芯层）。

题型10：光纤模式数量（多模光纤）

题目10：多模光纤n₁=1.5，n₂=1.48，a=25μm，λ=1.5μm，求大致模式数量。

解析步骤：

计算V：(V=2π×25/1.5×√(1.5²-1.48²)≈(104.72)/1.5×0.0597≈4.17)
多模光纤模式数量 (≈V²/2=4.17²/2≈8.7≈9个) 答案：大致支持9个模式。

四、5道简答题（标准回答）

简答题1：简述光波导的工作原理与核心结构。

标准回答：光波导的核心结构是“高折射率芯层（n₁）+ 低折射率包层（n₂<n₁）”；工作原理基于全反射（TIR）：光从芯层入射到包层时，若入射角>临界角（θ_c=sin⁻¹(n₂/n₁)），会发生全反射，无能量透射至包层，光以“之字形”在芯层内传播，实现横向约束和纵向引导。

简答题2：平面波导的导模与辐射模有何区别？

标准回答：

导模：满足θ_i>θ₂c≥θ₃c，传播常数k₀n₂<β<k₀n₁，能量被约束在芯层，沿z方向稳定传播，场分布为芯层振荡+包层消逝波；
辐射模：θ_i<θ₂c或θ₃c，β<k₀n₂，光在芯层-包层界面发生折射，能量向包层发散，无法稳定传播。

简答题3：单模光纤的判据是什么？其基模是什么？有何特点？

标准回答：

判据：归一化频率V<2.405；
基模：LP₀₁模式（对应HE₁₁混合模）；
特点：无截止波长 (V₀^c=0)，仅支持一个模式，无模式色散，传输带宽大，适用于长距离通信。

简答题4：光纤的色散有哪些类型？如何实现零色散？

标准回答：

色散类型：①模式色散（多模光纤，不同模式传播速度不同）；②材料色散（折射率n随频率变化）；③波导色散（模式有效折射率随波长变化，由光纤结构决定）；
零色散实现：通过平衡材料色散（正）和波导色散（负），使总色散D=0，如标准单模光纤（G.652）零色散波长≈1310nm，色散位移光纤（G.653）将零色散波长移至1550nm（低损耗窗口）。

简答题5：简述平面波导中TE模式与TM模式的区别。

标准回答：

TE模式（横电模式）：纵向电场分量E_z=0，仅含横向电场（Eᵧ）和纵向/横向磁场（H_z、Hₓ），全反射时相位偏移φ_TE与折射率直接相关；
TM模式（横磁模式）：纵向磁场分量H_z=0，仅含横向磁场（Hᵧ）和纵向/横向电场（E_z、Eₓ），全反射时相位偏移φ_TM含n₁²/n₂²因子；
共性：均满足特征方程，离散存在，导模范围均为k₀n₂<β<k₀n₁。

目录

第三章 光波导（Optical Waveguides）零基础详细学习笔记

一、光波导入门基础（零基础必看）

1.1 什么是光波导？

1.2 光波导的分类（考试高频简答考点）

1.3 核心基础概念（术语表，必背）

二、平面波导的射线光学理论（3.1）

2.1 平面波导的结构的结构

2.2 核心原理：全反射与射线传播

2.2.1 全反射的详细条件与现象

2.2.2 射线的传播模式（导模vs辐射模）

2.3 导模的核心：相位匹配与特征方程

2.3.1 为什么需要特征方程？

2.3.2 特征方程推导（关键步骤）

（1）TE模式特征方程

（2）TM模式特征方程

2.3.3 特征方程中关键参数定义（符号必须记准）

2.4 关键衍生参数（考试计算核心）

2.4.1 有效折射率（n_β）

2.4.2 归一化频率（V）

2.4.3 归一化导模折射率（b）

2.4.4 不对称因子（a）

2.5 截止条件（考试高频考点）

2.5.1 什么是截止？

2.5.2 截止波长（$λ_m^c$）

2.5.3 截止厚度（$d_m^c$）

2.6 模式数量判断（计算题必考）

二、平面波导的电磁理论（3.2）

2.1 核心逻辑：从麦克斯韦方程组出发

2.2 前提假设

2.3 场分量关系（核心公式）

2.4 模式分类（基于纵向分量）

2.5 波动方程与场分布

2.5.1 波动方程推导

2.5.2 平面波导的场分布（TE模式示例）

2.6 边界条件（波动方程求解关键）

2.7 模式的正交性（简答考点）

2.7.1 正交性定义

2.7.2 物理意义

三、阶跃折射率平面波导（3.3）：考试计算重点

3.1 对称阶跃平面波导（n₂=n₃）

3.1.1 核心特点

3.1.2 约束因子（Γ）：功率 confinement 程度

3.2 非对称阶跃平面波导（n₂≠n₃）

3.2.1 核心特点

3.3 计算题示例：模式数量与截止厚度（考试真题难度）

例题：非对称阶跃平面波导，芯层n₁=1.77，衬底n₂=1.45，覆盖层n₃=1，芯层厚度d=2μm，光波长λ=1μm，求：

解答步骤：

结论：

四、阶跃折射率圆形波导（3.4）：光纤核心

4.1 光纤的基本结构与参数

4.1.1 结构

4.1.2 核心参数（与平面波导对应，需对比记忆）

4.2 光纤的模式分类

4.2.1 为什么有混合模？

4.2.2 弱导近似与LP模式（零基础重点）

4.3 光纤的色散（考试简答高频考点）

4.3.1 什么是色散？

4.3.2 色散分类

4.3.3 零色散波长（λ₀）

4.4 光纤计算题示例：单模判断与脉冲展宽

例题：标准单模光纤，芯层半径a=4.7μm，n₁=1.4628，n₂=1.4600，光波长λ=1550nm，求：

解答步骤：

结论：

五、选学内容（3.5-3.6）：考试低频考点

5.1 渐变折射率波导（Graded-index Waveguide）

5.2 沟道波导（Channel Waveguide）

六、考试重点汇总（简答+计算）

6.1 简答题高频考点（完整回答思路）

6.2 计算题高频考点（公式+步骤）

七、零基础学习建议

第三章重点知识点整理

一、核心术语表（中英对照+物理意义）

二、核心公式大全（分类整理+符号说明）

（一）基础参数公式

（二）特征方程（核心考点）

1. 平面波导特征方程

2. 光纤（LP模式）特征方程

（三）截止条件公式

（四）计算类核心公式

第三章光波导（Optical Waveguides）零基础详细学习笔记