第四章 波与模式的耦合（Coupling of Waves and Modes）详细知识点梳理

一、基础概念铺垫（先搞懂“是什么”）

1. 波导与导波（Waveguide & Guided Wave）

• 波导结构：由 高折射率芯层（core/film） 和 低折射率包层（cladding）组成，芯层约束光场，包层提供光学隔离；
• 分类：
  • 纵向均匀波导：折射率仅与横向（x,y）相关，与纵向（z，传播方向）无关（(n(x,y,z)=n(x,y))）；
    • 平面波导：仅一个横向（如x）有芯层-包层结构，(n(x,y)=n(x))（(\partial/\partial y=0)），分阶跃折射率（step-index）和渐变折射率（graded-index）；
    • 非平面波导：横向（x,y）均有芯层-包层结构（如沟道波导、圆形光纤）；
• 导波特性：光沿纵向（z）传播，横向光场被芯层束缚（包层中为倏逝场），传播常数(\beta)满足(k_0 n_{clad} < \beta < k_0 n_{core})（(k_0=2\pi/\lambda_0)为自由空间波数）。

2. 耦合的本质（Coupling Essence）

• 光场在传播过程中，因介质特性变化（时变/非线性/空间扰动），导致不同频率的光波或不同空间模式的光场之间发生能量交换，称为“耦合”；
• 耦合的数学描述：通过“耦合极化(\Delta P)”实现——背景极化描述介质固有特性，(\Delta P)是耦合机制引入的附加极化，直接耦合不同光场。

3. 两大核心理论的适用场景（必考区分点）

二、4.1 耦合波理论（Coupled-wave theory）

1. 核心前提：耦合发生的条件

• 介质必须是「时变」或「非线性」的：线性静态介质中，不同频率光波的波动方程相互独立，无能量交换（无耦合）；
  • 时变介质：外部场（电场/磁场/声波）诱导介质光学特性随时间变化（如声光效应中，声波使介质折射率周期性起伏，形成时变光栅）；
  • 非线性介质：介质极化强度与光场强度非线性相关（如(P=\varepsilon_0 \chi^{(1)}E + \varepsilon_0 \chi^{(2)}E^2 + \dots)），导致新频率产生（如二次谐波）。

2. 耦合波方程的推导（公式推导+物理意义）

（1）无耦合时的波动方程

从麦克斯韦方程出发，忽略自由电荷和电流，推导单色光波的波动方程： \(\nabla \times \nabla \times \mathcal{E} = \omega^2 \mu_0 \varepsilon \mathcal{E}\)

• 单色光场：(\mathcal{E}(r,t) = \mathcal{E}(r) e^{-i\omega t})，(\omega)为光场角频率；
• 物理意义：线性静态介质中，光场满足亥姆霍兹方程，不同频率(\omega)的光场各自独立传播，无耦合。

（2）有耦合时的波动方程（核心公式）

引入耦合极化(\Delta P)（描述耦合机制），总极化(P = P_0 + \Delta P)（(P_0)为背景极化），波动方程修正为： \(\nabla \times \nabla \times \mathcal{E}_q - \omega_q^2 \mu_0 \varepsilon \cdot \mathcal{E}_q = \omega_q^2 \mu_0 \Delta P_q\)

• 下标q：标记不同频率的光波（(\omega_q)为第q个光波的角频率）；
• 物理意义：(\Delta P_q)作为“源项”，将第q个光波与其他频率光波耦合，导致(\mathcal{E}_q)的振幅（幅度、相位、偏振）随传播变化（不再是恒定振幅）。

（3）弱耦合近似（Weak Coupling Approximation）

• 假设：(\Delta P \ll P_0)（耦合是对线性静态介质的微扰），此时可忽略(\Delta P)对介质整体特性的影响，仅考虑其耦合作用；
• (\Delta P)的展开：因耦合不同频率光波，(\Delta P)可分解为各频率分量的叠加： \(\Delta P(r,t) = \sum_q \Delta P_q(r) e^{-i\omega_q t}\)
• 关键结论：(\Delta P_q(r))不仅与第q个光波的场(\mathcal{E}q(r))相关，还含其他频率光波的场（如(\mathcal{E}{q\pm1})），正是这种交叉关联实现了频率耦合。

3. 慢变振幅近似（SVA：Slowly varying amplitude approximation）

（1）近似前提

耦合导致的光场振幅变化，在一个光波长（(\lambda)）的传播距离内可忽略： \(\nabla^2 \mathcal{E}_q \ll k_q \cdot \nabla \mathcal{E}_q\)

• 物理图像：光场的“快速变化”由相位因子(e^{i k_q \cdot r})描述，振幅(\mathcal{E}_q(r))是“缓慢变化”的包络，符合实际器件中耦合作用的渐变特性。

（2）方程简化（核心推导步骤）

将(\mathcal{E}_q(r) = \mathcal{E}_q(z) e^{i k_q \cdot r})（沿z方向传播，(k_q = k_q \hat{z})）代入波动方程，利用(\nabla \times \nabla \times \mathcal{E} = \nabla(\nabla \cdot \mathcal{E}) - \nabla^2 \mathcal{E})，结合弱耦合近似和时谐条件，最终得到： \((k_q \cdot \nabla) \mathcal{E}_q \approx \frac{i \omega_q^2 \mu_0}{2} \Delta P_q e^{-i k_q \cdot r}\)

• 简化结果：二阶微分方程→一阶微分方程，大幅降低求解难度；
• 沿z方向传播时，进一步简化为： \(\frac{d \mathcal{E}_q}{d z} \approx \frac{i \omega_q^2 \mu_0}{2 k_q} \Delta P_q e^{-i k_q z}\)

4. 典型应用：声光衍射（Raman-Nath/Bragg Diffraction）

• 耦合机制：声波使介质折射率周期性起伏（时变光栅，(\Delta n(z,t) \propto e^{i(K z - \Omega t)})，K为声波波数，(\Omega)为声波角频率）；
• 耦合结果：入射光（(\omega_0, k_0)）与声波耦合，产生衍射光（(\omega = \omega_0 \pm \Omega)，(k = k_0 \pm K)），符合能量守恒（(\hbar \omega = \hbar \omega_0 \pm \hbar \Omega)）和动量守恒（(\hbar k = \hbar k_0 \pm \hbar K)）。

三、4.2 耦合模理论（Coupled-mode theory）

1. 核心思想：“未扰动模式”作为基矢

• 未扰动波导（(\varepsilon(x,y))，无空间扰动）：存在正交归一的“本征模”({\hat{\mathcal{E}}_v(x,y), \hat{\mathcal{H}}_v(x,y)})（v为模式序号），满足：
  • 正交性：(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (\hat{\mathcal{E}}v^* \times \hat{\mathcal{H}}\mu + \hat{\mathcal{E}}\mu \times \hat{\mathcal{H}}_v^*) \cdot \hat{z} dxdy = \delta{v\mu})（(\delta_{v\mu})为克罗内克函数）；
  • 独立传播：光场可展开为(\mathcal{E}(r) = \sum_v A_v \hat{\mathcal{E}}_v(x,y) e^{i\beta_v z})，其中(A_v)为常数（无耦合时振幅不变）。
• 扰动波导（(\varepsilon’(x,y,z) = \varepsilon(x,y) + \Delta \varepsilon(x,y,z))，如波导变形、多波导邻近）：
  • 本征模不再独立，光场展开式中(A_v = A_v(z))（振幅随z变化）；
  • 耦合模方程：描述(A_v(z))的变化规律，本质是“模式间的能量交换”。

2. 单波导模式耦合（Single-waveguide mode coupling）

（1）耦合模方程推导（核心步骤）

1. 光场展开：扰动波导中，光场仍用未扰动波导的本征模展开： \(\mathcal{E}(r) = \sum_v A_v(z) \hat{\mathcal{E}}_v(x,y) e^{i\beta_v z}, \quad \mathcal{H}(r) = \sum_v A_v(z) \hat{\mathcal{H}}_v(x,y) e^{i\beta_v z}\)
2. 代入麦克斯韦方程：利用未扰动模式满足的波动方程，结合洛伦兹互易定理（Lorentz Reciprocity Theorem），对波导横截面积分；
3. 利用正交性：消去交叉项，最终得到耦合模方程： \(\pm \frac{d A_v}{d z} = \sum_\mu i \kappa_{v\mu} A_\mu e^{i(\beta_\mu - \beta_v) z}\)

（2）方程中关键参数的物理意义

（3）无耗波导的耦合系数特性

无耗波导中，介电张量(\varepsilon)为厄米矩阵（Hermitian Matrix），因此： \(\kappa_{v\mu} = \kappa_{\mu v}^*\)

• 物理意义：模式v→μ的耦合强度与模式μ→v的耦合强度共轭，满足能量守恒（耦合过程无能量损耗）。

3. 多波导模式耦合（Multiple-waveguide mode coupling）

（1）适用场景

由多个独立波导组成的结构（如两个平行的沟道波导、波导阵列），核心是“不同波导的模式之间的耦合”。

（2）求解方法（分解+微扰）

1. 结构分解：将多波导分解为“单个独立波导+扰动”——每个独立波导的折射率为(\varepsilon_v(x,y))，总折射率(\varepsilon’(x,y,z) = \varepsilon_v(x,y) + \Delta \varepsilon_v(x,y,z))（(\Delta \varepsilon_v)是其他波导对第v个波导的扰动）；
2. 场展开：总光场展开为所有独立波导的本征模叠加（v遍历所有波导的所有模式）；
3. 耦合模方程：形式与单波导完全一致，但耦合系数含重叠系数（因不同波导的模式非正交）： \(\kappa_{v\mu} = c_{vv} \left[ c^{-1} \cdot \overline{\kappa} \right]_{v\mu}\) 其中：(c_{v\mu} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (\hat{\mathcal{E}}v^* \times \hat{\mathcal{H}}\mu + \hat{\mathcal{E}}\mu \times \hat{\mathcal{H}}_v^*) \cdot \hat{z} dxdy)（重叠系数，(|c{v\mu}| \leq 1)，描述两模式场的重叠程度）；(\overline{\kappa}_{v\mu})为单波导的扰动耦合系数。

（3）核心结论

多波导与单波导的耦合模方程形式统一，仅耦合系数定义不同——考试中只需区分“同一波导的模式耦合”（无重叠系数）和“不同波导的模式耦合”（含重叠系数）即可。

四、4.3 双模耦合（Two-mode coupling）—— 考试重点

耦合模理论中最常用的场景（实际器件多为两模式耦合），重点掌握“同向/反向耦合”的特性的和“相位匹配”的影响。

1. 简化耦合模方程（去除自耦合项）

考虑仅两个模式（a和b）耦合，忽略自耦合项(\kappa_{aa},\kappa_{bb})（自耦合仅改变模式自身的传播常数，不影响模式间能量交换），令： \(A(z) = \tilde{A}(z) e^{\pm i \int_0^z \kappa_{aa}(z') dz'}, \quad B(z) = \tilde{B}(z) e^{\pm i \int_0^z \kappa_{bb}(z') dz'}\) 代入耦合模方程，最终得到简化形式（核心考试公式）： \(\pm \frac{d \tilde{A}}{d z} = i \kappa_{ab} \tilde{B} e^{i 2\delta z}, \quad \pm \frac{d \tilde{B}}{d z} = i \kappa_{ba} \tilde{A} e^{-i 2\delta z}\)

• 相位失配参数：(2\delta = (\beta_b \pm \kappa_{bb}) - (\beta_a \pm \kappa_{aa}))（常数扰动）或(2\delta = \Delta \beta + qK)（周期扰动，(\Delta \beta = \beta_b - \beta_a)，K=2π/Λ为周期结构波数，q为整数）；
• 关键假设：(\Delta \varepsilon)为常数或周期函数（实际器件常用，耦合系数(\kappa_{ab},\kappa_{ba})与z无关）。

2. 同向耦合（Codirectional coupling）

（1）定义

两个模式沿同一方向传播（如均为前向传播，(\beta_a>0,\beta_b>0)），方程中符号取“+”。

（2）求解与边界条件

• 边界条件：初始值问题——已知z=0处的振幅(\tilde{A}(0),\tilde{B}(0))（如仅模式a入射，(\tilde{A}(0) \neq 0, \tilde{B}(0)=0)）；
• 解析解：令(\beta_c = \sqrt{\kappa_{ab}\kappa_{ba} + \delta^2})，解得： \(\tilde{A}(z) = \tilde{A}(0) \left( \cos \beta_c z - i \frac{\delta}{\beta_c} \sin \beta_c z \right), \quad \tilde{B}(z) = \tilde{A}(0) \cdot i \frac{\kappa_{ba}}{\beta_c} \sin \beta_c z\)

（3）核心特性（必考）

1. 功率交换规律：
   • 模式a的功率：(P_a(z) = P_a(0) \left( \cos^2 \beta_c z + \frac{\delta^2}{\beta_c^2} \sin^2 \beta_c z \right))；
   • 模式b的功率：(P_b(z) = P_a(0) \cdot \frac{\kappa_{ab}\kappa_{ba}}{\beta_c^2} \sin^2 \beta_c z)；
   • 物理图像：功率在两模式间周期性交换，交换周期为“耦合长度”(l_c = \pi/(2\beta_c))。
2. 相位匹配（(\delta=0)）的影响：

   • 此时(\beta_c = \sqrt{\kappa_{ab}\kappa_{ba}})，若(\kappa_{ab} = \kappa_{ba}^*)（无耗波导），则(\beta_c =

     \kappa_{ab}

     )；

   • 功率交换：(P_a(z) = P_a(0) \cos^2

     \kappa

     z)，(P_b(z) = P_a(0) \sin^2

     \kappa

     z)；

   • 完全功率转移：当(z = l_c^{PM} = \pi/(2

     \kappa

     ))时，(P_a(l_c^{PM})=0)，(P_b(l_c^{PM})=P_a(0))（100%能量转移）。

3. 相位失配（(\delta \neq 0)）的影响：

   • 最大耦合效率：(\eta_{max} = \frac{\kappa_{ab}\kappa_{ba}}{\kappa_{ab}\kappa_{ba} + \delta^2} = \frac{1}{1 +

     \delta/\kappa

     ^2})（(\kappa =

     \kappa_{ab}

     )）；

   • 规律：(

     \delta/\kappa

     )越大，(\eta_{max})越小，功率交换的周期性越弱（振荡幅度衰减）。

（4）典型曲线（帮助记忆）

• 相位匹配（(\delta=0)）：P_a和P_b呈余弦/正弦平方交替，周期(l_c^{PM})；

• 相位失配（(\delta \neq 0)）：P_b的峰值低于P_a(0)，振荡频率升高（(l_c = l_c^{PM}/\sqrt{1 +

  \delta/\kappa

  ^2})）。

3. 反向耦合（Contradirectional coupling）

（1）定义

两个模式沿相反方向传播（如模式a前向(\beta_a>0)，模式b后向(\beta_b<0)），方程中符号取“+”（a）和“-”（b）。

（2）求解与边界条件

• 边界条件：边值问题——已知z=0处(\tilde{A}(0))（入射端）和z=l处(\tilde{B}(l))（出射端，通常为0，无反向入射）；
• 解析解：令(\alpha_c = \sqrt{|\kappa_{ab}\kappa_{ba}| - \delta^2})（(|\kappa|^2 > \delta^2)时为实数），解得： \(\tilde{A}(z) = \frac{\alpha_c \cosh \alpha_c (l - z) + i \delta \sinh \alpha_c (l - z)}{\alpha_c \cosh \alpha_c l + i \delta \sinh \alpha_c l} \tilde{A}(0), \quad \tilde{B}(z) = \frac{i \kappa_{ba} \sinh \alpha_c (l - z)}{\alpha_c \cosh \alpha_c l + i \delta \sinh \alpha_c l} \tilde{A}(0)\)

（3）核心特性（必考）

1. 功率交换规律：

   • 模式b的功率（反向）：(P_b(z) = P_a(0) \cdot \frac{

     \kappa_{ba}

     ^2 \sinh^2 \alpha_c (l - z)}{\alpha_c^2 \cosh^2 \alpha_c l + \delta^2 \sinh^2 \alpha_c l})；

   • 物理图像：功率从正向模式a单向转移到反向模式b，效率随传播长度l单调增加（无振荡）。
2. 相位匹配（(\delta=0)）的影响：

   • 耦合效率：(\eta_{PM} = \tanh^2

     \kappa

     l)（(\tanh x)随x增大趋近1）；

   • 完全功率转移：当l→∞时，(\eta_{PM} \to 1)（理论上完全转移，实际l取3~5个耦合长度即可接近完全转移）。
3. 与同向耦合的关键区别（表格对比）

4. 相位匹配的本质（高频考点）

（1）物理本质：波矢守恒

耦合过程中，两模式的波矢需满足“匹配条件”，即能量和动量守恒：

• 同向耦合：(\beta_b = \beta_a)（(\delta=0)）→ 动量守恒(\hbar \beta_b = \hbar \beta_a)；
• 反向耦合：(\beta_b = -\beta_a + qK)（周期扰动）→ 动量守恒(\hbar \beta_b = -\hbar \beta_a + \hbar qK)（光栅提供额外动量qK）；
• 相位失配：波矢不守恒，耦合能量因相位差累积而相互抵消，效率下降。

（2）实现相位匹配的方法

• 选择合适的模式：使两模式的有效折射率相等（(n_{eff,a} = n_{eff,b})），则(\beta_a = \beta_b)；
• 引入周期结构：如光栅（提供qK的额外波矢），补偿波矢差(\Delta \beta = \beta_b - \beta_a)；
• 调节温度/电压：通过电光/热光效应改变模式的有效折射率，从而调节(\beta)，实现相位匹配。

五、4.4 光耦合器（Optical couplers）—— 理论应用（计算题/简答题高频）

1. 光栅波导耦合器（Grating waveguide couplers）

（1）结构与工作原理

• 结构：在波导表面或内部引入周期性结构（两种类型）：
  • 周期性折射率调制：通过掺杂、电光效应等使波导折射率周期性变化（(n(z) = n_0 + \Delta n \cos Kz)）；
  • 周期性结构波纹：在波导界面（如芯层-包层界面）制作周期性凹槽（波纹深度(d_g)，周期(\Lambda)）；
• 工作原理：周期结构作为“空间光栅”，产生周期扰动(\Delta \varepsilon(z))，实现“单波导内两模式的耦合”（如导模→导模、导模→辐射模、导模→反向导模）。

（2）耦合系数计算（典型案例）

以“正弦波纹光栅”为例（TE模耦合），波纹位于芯层（n1）与包层（n3）界面，深度(d_g \ll \lambda/n1)（模式场在波纹区域近似均匀）： \(\kappa_{ab}(q) = \frac{h_a h_b}{\sqrt{\beta_a \beta_b d_a^E d_b^E}} \cdot \frac{d_g}{4} (\delta_{q,1} + \delta_{q,-1})\)

• 参数说明：(h_a,h_b)为模式的横向场参数，(d_a^E,d_b^E)为模式的有效厚度，(\delta_{q,1})表示仅q=±1时耦合系数非零（正弦光栅仅一阶耦合有效）；
• 关键结论：TE模耦合系数与包层参数无关，仅与芯层参数和光栅深度、周期相关——实际应用中，光栅可放在芯层的任意界面（芯层-包层、芯层-衬底），耦合效果一致。

（3）核心应用：分布式布拉格反射器（DBR）

• 工作机制：“导模的前向传播模式↔反向传播模式”的反向耦合（属于“同向模式的反向耦合”）；
• 布拉格条件（相位匹配）： \(\beta_B = \frac{qK}{2} \implies \Lambda = \frac{q \lambda_B}{2 n_{eff}}\) 其中：(\beta_B)为导模传播常数，(\lambda_B)为布拉格波长，(n_{eff})为导模有效折射率，q为耦合阶数（常用q=1，(\Lambda = \lambda_B/(2n_{eff}))）；
• 特性：

  • 反射率：(R_{DBR} = \tanh^2

    \kappa

    l)（相位匹配时），l为光栅长度，(

    \kappa

    l)越大，反射率越高（接近1）；

  • 频率选择性：仅在布拉格波长(\lambda_B)附近有高反射率（窄带滤波），带宽(\Delta \lambda \propto

    \kappa

    \lambda_B^2/(2\pi n_{eff}))；

• 应用：DBR激光器、DFB（分布式反馈）激光器——无需传统法布里-珀罗镜，通过光栅提供光反馈，实现单频、窄线宽激光输出（考试常考应用场景）。

2. 定向耦合器（Directional couplers）

（1）结构与工作原理

• 结构：由两个平行放置的波导组成（芯层n1，包层n2，间距s），每个波导支持基模（TE00或TM00）；
• 工作原理：“多波导模式耦合”+“同向耦合”——两波导的基模场相互重叠（重叠系数(c_{ab} \neq 0)），导致能量在两波导间周期性交换。

（2）耦合模方程与参数

• 对称定向耦合器（两波导完全相同：(n1,a = n1,b)，(d_a = d_b)）：
  • 相位失配(\delta=0)（始终相位匹配），耦合系数(\kappa_{ab} = \kappa_{ba}^*)；
  • 耦合模方程简化为： \(\frac{d \tilde{A}}{d z} = i \kappa \tilde{B}, \quad \frac{d \tilde{B}}{d z} = i \kappa \tilde{A}\)
  • 解析解（仅波导a入射，(\tilde{A}(0) \neq 0, \tilde{B}(0)=0)）： \(\tilde{A}(z) = \tilde{A}(0) \cos \kappa z, \quad \tilde{B}(z) = \tilde{A}(0) i \sin \kappa z\)
• 耦合长度：(l_c = \pi/(2\kappa))——z=lc时，能量从波导a完全转移到波导b（交叉态）；z=2lc时，能量回到波导a（直通态）。

（3）超模（Supermodes）概念（难点但必考）

• 定义：定向耦合器（复合波导结构）的本征模，是两个单波导基模的线性组合；
• 两种超模：
  1. 对称超模（Even Supermode）：(\mathcal{E}{even} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{\mathcal{E}}_a + \hat{\mathcal{E}}_b))，传播常数(\beta{even} = \beta_0 + \kappa)；
  2. 反对称超模（Odd Supermode）：(\mathcal{E}{odd} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{\mathcal{E}}_a - \hat{\mathcal{E}}_b))，传播常数(\beta{odd} = \beta_0 - \kappa)；
• 物理意义：定向耦合器的光场本质是两个超模的叠加，能量交换源于两超模的相位差随z的变化（(\Delta \beta = \beta_{even} - \beta_{odd} = 2\kappa)）。

（4）核心应用

1. 光开关：
   • 交叉态（无电压）：(\delta=0)，z=lc时，能量从a→b（切换到交叉通道）；
   • 平行态（加电压）：通过电光效应改变其中一个波导的折射率，引入相位失配(\delta = \sqrt{3}\kappa)，此时(\beta_c = 2\kappa)，(\eta = \sin^2(2\kappa z) = 0)（能量无转移，保持在原通道）；
2. 功率分配器/合束器：选择z=lc/2，此时(P_a = P_b = P_a(0)/2)（50:50分束）；
3. 偏振分束器：利用TE模和TM模的耦合系数不同，设计耦合长度，使某一偏振态完全转移，另一偏振态无转移，实现偏振分离。

六、考试重点总结与备考建议

1. 简答题高频考点

（1）耦合波理论与耦合模理论的区别与适用场景； （2）同向耦合与反向耦合的特性对比（传播方向、功率交换规律、求解方法）； （3）相位匹配的物理本质、实现方法及对耦合效率的影响； （4）DBR/DFB激光器的工作原理（基于光栅反向耦合、布拉格条件、频率选择性）； （5）定向耦合器的超模概念及光开关的工作机制。

2. 计算题高频考点

（1）耦合模方程的求解（双模同向/反向耦合，给定初始/边界条件，计算振幅/功率随z的变化）； （2）耦合系数的计算（光栅波导耦合器的TE模耦合、定向耦合器的对称耦合）； （3）相位匹配条件的应用（计算布拉格光栅周期、定向耦合器的耦合长度）； （4）耦合效率的计算（相位匹配/失配时，同向/反向耦合的效率）。

3. 公式记忆重点

（1）耦合波方程（含ΔP的波动方程）； （2）耦合模方程（单波导/多波导，同向/反向）； （3）双模耦合的解析解（振幅、功率表达式）； （4）耦合长度(l_c = \pi/(2\beta_c))（同向）、布拉格条件(\Lambda = q\lambda_B/(2n_{eff}))； （5）耦合效率公式（同向(\eta = \sin^2(|\kappa| z \sqrt{1 + |\delta/\kappa|^2})/(1 + |\delta/\kappa|^2))，反向(\eta = \tanh^2(|\kappa| l))）。

4. 备考策略

（1）先理解物理图像：耦合的本质是能量交换，相位匹配是能量有效交换的前提； （2）区分“频率耦合”（耦合波理论）和“模式耦合”（耦合模理论），避免混淆； （3）重点练习双模耦合的计算题，掌握“代入边界条件→求解方程→计算功率/效率”的步骤； （4）结合应用场景记忆（如DBR对应反向耦合，定向耦合器对应同向耦合），加深理解。

光电子学第四章 波与模式的耦合 备考总结

一、术语表（中英对照 + 物理意义）

二、公式大全（分类整理 + 符号说明）

（一）耦合波理论核心公式

| 公式名称 | 公式表达式 | 符号说明 | |———-|————|———-| | 有耦合波动方程 | $\nabla \times \nabla \times E_q - \omega_q^2 \mu_0 \varepsilon \cdot E_q = \omega_q^2 \mu_0 \Delta P_g$ | $E_q$：第q个频率光波的电场；$\omega_q$：角频率；$\mu_0$：真空磁导率；$\varepsilon$：介质介电常数；$\Delta P_g$：耦合极化 | | 慢变振幅近似方程 | $(k_q \cdot \nabla) \mathcal{E}_q \approx \frac{i \omega_q^2 \mu_0}{2} \Delta P_g e^{-i k_q \cdot r}$ | $k_q$：第q个光波的波矢；$\mathcal{E}_q$：电场振幅；$r$：空间坐标 |

（二）耦合模理论核心公式

| 公式名称 | 公式表达式 | 符号说明 | |———-|————|———-| | 单波导耦合模方程 | $\pm \frac{d A_v}{d z} = \sum_{\mu} i \kappa_{v \mu} A_{\mu} e^{i(\beta_{\mu}-\beta_{v}) z}$ | $A_v/A_\mu$：模式v/μ的振幅系数；$\beta_v/\beta_\mu$：模式v/μ的传播常数；$\kappa_{v\mu}$：耦合系数；“+”前向传播（β>0），“-”后向传播（β<0） | | 耦合系数（单波导） | $\kappa_{v\mu} = \omega \int\int \mathcal{E}v^* \cdot \Delta \varepsilon \cdot \mathcal{E}\mu dxdy$ | $\omega$：光场角频率；$\mathcal{E}v^*/\mathcal{E}\mu$：模式v/μ的场分布（共轭/原场）；$\Delta \varepsilon$：介质介电常数扰动 | | 多波导耦合系数 | $\kappa_{v\mu} = c_{vv}[c^{-1} \cdot \overline{\kappa}]{v\mu}$ | $c{vv}$：模式v的重叠系数；$c$：重叠系数矩阵；$\overline{\kappa}$：单波导扰动耦合系数 | | 重叠系数 | $c_{v\mu} = \int\int (\mathcal{E}v^* \times \mathcal{H}\mu + \mathcal{E}\mu \times \mathcal{H}_v^*) \cdot \hat{z} dxdy$ | $\mathcal{H}_v^*/\mathcal{H}\mu$：模式v/μ的磁场分布（共轭/原场）；$\hat{z}$：纵向单位向量 |

（三）双模耦合核心公式

| 公式名称 | 公式表达式 | 符号说明 | |———-|————|———-| | 简化耦合模方程 | $\pm \frac{d \tilde{A}}{d z} = i \kappa_{ab} \tilde{B} e^{i2\delta z}；\pm \frac{d \tilde{B}}{d z} = i \kappa_{ba} \tilde{A} e^{-i2\delta z}$ | $\tilde{A}/\tilde{B}$：去除自耦合后的振幅；$\kappa_{ab}/\kappa_{ba}$：两模式耦合系数；$2\delta$：相位失配参数 | | 相位失配（常数扰动） | $2\delta = (\beta_b \pm \kappa_{bb}) - (\beta_a \pm \kappa_{aa})$ | $\kappa_{aa}/\kappa_{bb}$：模式a/b的自耦合系数 | | 相位失配（周期扰动） | $2\delta = \Delta\beta + qK$ | $\Delta\beta=\beta_b-\beta_a$；q：整数；$K=2\pi/\Lambda$（光栅波数） | | 同向耦合功率（仅A入射） | $P_a(z)=P_a(0)(\cos^2\beta_c z + \frac{\delta^2}{\beta_c^2}\sin^2\beta_c z)；P_b(z)=P_a(0)(\frac{\kappa_{ab}\kappa_{ba}}{\beta_c^2})\sin^2\beta_c z$ | $\beta_c=\sqrt{\kappa_{ab}\kappa_{ba}+\delta^2}$；$P_a(0)$：入射功率 | | 反向耦合效率（相位匹配） | $\eta_{PM} = \tanh^2|\kappa|l$ | $|\kappa|$：耦合系数绝对值；l：传播长度 | | 耦合长度 | $l_c = \frac{\pi}{2\beta_c}；l_c^{PM} = \frac{\pi}{2|\kappa|}$（相位匹配） | $l_c^{PM}$：相位匹配时的耦合长度 |

（四）光栅波导耦合器公式

| 公式名称 | 公式表达式 | 符号说明 | |———-|————|———-| | 布拉格条件 | $\beta_B = \frac{qK}{2} \implies \Lambda = \frac{q\lambda_B}{2n_{eff}}$ | $\beta_B$：导模传播常数；$\Lambda$：光栅周期；$\lambda_B$：布拉格波长；$n_{eff}$：有效折射率；q：耦合阶数 | | 正弦光栅耦合系数（TE模） | $\kappa_{ab}(q) = \frac{h_a h_b}{\sqrt{\beta_a \beta_b d_a^E d_b^E}} \cdot \frac{d_g}{4}(\delta_{q,1}+\delta_{q,-1})$ | $h_a/h_b$：模式场参数；$d_a^E/d_b^E$：有效厚度；$d_g$：光栅深度；$\delta_{q,1}$：克罗内克函数 | | DBR反射率（相位匹配） | $R_{DBR} = \tanh^2|\kappa|l$ | l：光栅长度 |

（五）定向耦合器公式

| 公式名称 | 公式表达式 | 符号说明 | |———-|————|———-| | 对称耦合模方程 | $\frac{d \tilde{A}}{d z} = i \kappa \tilde{B}；\frac{d \tilde{B}}{d z} = i \kappa \tilde{A}$ | $\kappa$：对称耦合系数 | | 超模传播常数 | $\beta_{even}=\beta_0+\kappa；\beta_{odd}=\beta_0-\kappa$ | $\beta_{even}/\beta_{odd}$：对称/反对称超模传播常数；$\beta_0$：单波导模式传播常数 | | 定向耦合器效率 | $\eta = \frac{1}{1+|\delta/\kappa|^2}\sin^2(|\kappa|l\sqrt{1+|\delta/\kappa|^2})$ | l：耦合器长度 |

三、10道计算题（含解析）

计算题1：单波导TE模耦合系数计算

已知：平面波导芯层折射率n1=3.45，包层折射率n3=1.5，光栅深度dg=0.1μm，模式a/b的场参数ha=hb=10⁴ m⁻¹，传播常数βa=βb=2π×10⁶ rad/m，有效厚度$d_a^E=d_b^E=2μm$，光角频率ω=2π×5×10¹⁴ rad/s。
求：正弦光栅的TE模耦合系数κab。
解：

1. 代入TE模耦合系数公式：
   $\kappa_{ab} = \frac{h_a h_b}{\sqrt{\beta_a \beta_b d_a^E d_b^E}} \cdot \frac{d_g}{4}$
2. 代入数值计算：
   $\sqrt{\beta_a \beta_b d_a^E d_b^E} = \sqrt{2\pi×10⁶×2\pi×10⁶×2×10⁻⁶×2×10⁻⁶} ≈ 4π ≈ 12.57$
   $h_a h_b = 10⁴×10⁴ = 10⁸$
   分子部分：$10⁸ / 12.57 ≈ 7.96×10⁶$
   $d_g/4 = 0.1×10⁻⁶ / 4 = 2.5×10⁻⁸$
   $\kappa_{ab} ≈ 7.96×10⁶ × 2.5×10⁻⁸ ≈ 0.199$ rad/m ≈ 0.2 rad/m
   解析：考点为光栅波导耦合系数计算，核心是代入TE模专用公式，注意单位统一（μm转换为m），正弦光栅仅q=±1阶耦合有效。

计算题2：同向耦合功率随传播距离变化

已知：双模同向耦合，κab=κba=0.5 rad/mm，δ=0（相位匹配），入射功率Pa(0)=10 mW，仅模式a入射（Pb(0)=0）。
求：z=3 mm时，两模式的功率Pa(z)和Pb(z)。
解：

1. 相位匹配时βc=κ=0.5 rad/mm，耦合长度$l_c^{PM}=π/(2κ)=π/(2×0.5)=π≈3.14$ mm；
2. 功率公式：
   $P_a(z)=P_a(0)\cos²(κz)$，$P_b(z)=P_a(0)\sin²(κz)$
3. 代入z=3 mm：
   $κz=0.5×3=1.5$ rad（≈85.9°）
   $P_a(3)=10×cos²(1.5)≈10×0.0707≈0.71$ mW
   $P_b(3)=10×sin²(1.5)≈10×0.9293≈9.29$ mW
   解析：考点为同向耦合功率交换规律，相位匹配时功率呈余弦/正弦平方交替，z接近lc^PM时Pb接近入射功率。

计算题3：耦合长度计算（相位失配）

已知：双模同向耦合，κ=0.3 rad/m，δ=0.15 rad/m。
求：耦合长度lc。
解：

1. 计算$\beta_c=\sqrt{κ²+δ²}=\sqrt{0.3²+0.15²}=\sqrt{0.09+0.0225}=\sqrt{0.1125}≈0.335$ rad/m；
2. 耦合长度$l_c=π/(2β_c)=π/(2×0.335)≈4.73$ m； 解析：考点为相位失配对耦合长度的影响，失配时lc比相位匹配时（$l_c^{PM}=π/(2×0.3)≈5.23$ m）缩短，因振荡频率升高。

计算题4：DBR布拉格光栅周期计算

已知：DBR激光器中，导模有效折射率neff=3.2，布拉格波长λB=1550 nm，采用1阶耦合（q=1）。
求：光栅周期Λ。
解：

1. 布拉格条件：$\Lambda=qλ_B/(2n_{eff})$；
2. 代入数值：$q=1，λ_B=1550×10⁻⁹ m，n_{eff}=3.2$；
   $\Lambda=1×1550×10⁻⁹/(2×3.2)≈2.42×10⁻⁷$ m=242 nm； 解析：考点为布拉格条件的应用，DBR的核心是光栅提供额外波矢补偿反向耦合的波矢差，1阶耦合是最常用场景。

计算题5：反向耦合效率计算

已知：反向耦合中，κ=0.4 rad/cm，传播长度l=5 cm，δ=0（相位匹配）。
求：耦合效率η。
解：

1. 相位匹配时反向耦合效率公式：$\eta=tanh²(

   κ

   l)$；

2. 计算$

   κ

   l=0.4×5=2$；

3. $tanh(2)≈0.964$，$\eta≈0.964²≈0.93$（93%）； 解析：考点为反向耦合效率特性，效率随长度单调增加，l=5 cm时已接近完全转移（η→1）。

计算题6：相位失配时的最大耦合效率

已知：同向耦合，κ=0.6 rad/m，δ=0.4 rad/m。
求：最大耦合效率ηmax。
解：

1. 最大效率公式：$\eta_{max}=1/(1+(δ/κ)²)$；
2. 计算$δ/κ=0.4/0.6≈0.667$；
3. $\eta_{max}=1/(1+0.667²)=1/(1+0.444)≈0.692$（69.2%）； 解析：考点为相位失配对耦合效率的限制，失配越大ηmax越低，核心是波矢不守恒导致能量抵消。

计算题7：定向耦合器分束比计算

已知：对称定向耦合器，κ=0.2 rad/mm，耦合长度$l_c=π/(2κ)=7.85$ mm，入射功率10 mW。
求：z=3.925 mm时，两波导的功率分配。
解：

1. z=3.925 mm=lc/2，$κz=0.2×3.925≈0.785$ rad（π/4）；
2. 功率公式：$P_a=10×cos²(π/4)=10×0.5=5$ mW；$P_b=10×sin²(π/4)=10×0.5=5$ mW； 解析：考点为定向耦合器的分束应用，z=lc/2时实现50:50功率分配，是常用的光分束器工作点。

计算题8：多波导重叠系数影响

已知：两平行波导的模式重叠系数c=0.8，单波导扰动耦合系数κ̄=0.3 rad/m，cvv=1。
求：多波导耦合系数κ。
解：

1. 多波导耦合系数公式：$\kappa=c_{vv}[c^{-1}·\overline{\kappa}]$；
2. 简化（两波导）：$\kappa=1×(1/0.8)×0.3=0.375$ rad/m； 解析：考点为多波导耦合系数的修正，不同波导模式非正交（c<1），耦合系数比单波导大，因场重叠增强耦合。

计算题9：光开关切换条件计算

已知：定向耦合器光开关，κ=0.5 rad/mm，耦合长度$l_c=π/(2κ)=3.14$ mm。
求：实现平行态（η=0）所需的相位失配δ。
解：

1. 平行态要求$\eta=sin²(β_c l)=0$，即$β_c l=π$（$β_c=\sqrt{κ²+δ²}$）；
2. 代入l=lc=3.14 mm，κ=0.5 rad/mm：
   $\sqrt{0.5²+δ²}×3.14=π \implies \sqrt{0.25+δ²}=1 \implies δ²=0.75 \implies δ=\sqrt{0.75}≈0.866$ rad/mm； 解析：考点为定向耦合器光开关的工作机制，通过引入相位失配使功率无转移，核心是控制βc l为π的整数倍。

计算题10：光栅耦合器带宽计算

已知：DBR光栅长度l=100 μm，耦合系数κ=100 rad/m，布拉格波长λB=1550 nm，有效折射率neff=3.2。
求：DBR的带宽Δλ。
解：

1. 带宽公式：$\Deltaλ≈\frac{

   κ

   λ_B²}{2πn_{eff}}$；

2. 代入数值：$|κ|=100$ rad/m，λB=1550×10⁻⁹ m，neff=3.2；
   $\Deltaλ≈\frac{100×(1550×10⁻⁹)²}{2π×3.2}≈\frac{100×2.4025×10⁻¹²}{20.106}≈1.195×10⁻¹¹$ m≈0.012 nm； 解析：考点为DBR的频率选择性，带宽与耦合系数成正比，与光栅长度无关，窄带宽特性用于单频激光。

四、5道简答题（标准回答）

简答题1：简述耦合波理论与耦合模理论的核心区别与适用场景。

标准回答：

1. 核心区别：① 耦合对象不同——耦合波理论处理不同频率的光波，耦合模理论处理不同空间模式/偏振的光场；② 介质要求不同——耦合波理论要求介质时变或非线性，耦合模理论要求介质具有空间依赖性（如扰动、多波导）；③ 物理本质不同——耦合波理论源于频率耦合（新频率产生），耦合模理论源于模式间能量交换（频率不变）。
2. 适用场景：① 耦合波理论：声光衍射、非线性频率转换（如二次谐波）；② 耦合模理论：光栅耦合器、定向耦合器、DBR/DFB激光器。

简答题2：相位匹配的物理本质是什么？实现相位匹配的常用方法有哪些？

标准回答：

1. 物理本质：相位匹配的核心是耦合过程中满足波矢守恒（动量守恒），即两模式的波矢差被介质扰动（如光栅）补偿，使得相位差不随传播距离累积，能量可持续高效交换。
2. 常用方法：① 模式选择法：选择有效折射率相等的模式（$n_{eff,a} =n_{eff,b}$），使$\beta_a=\beta_b$；② 周期结构法：引入光栅等周期结构，提供额外波矢qK补偿波矢差$\Delta\beta$；③ 外场调节法：通过电光、热光效应改变模式有效折射率，调节传播常数β实现匹配。

简答题3：同向耦合与反向耦合的关键特性差异是什么？

标准回答：

1. 传播方向：同向耦合两模式传播方向相同（βa,βb>0），反向耦合相反（βa>0,βb<0）；
2. 求解方法：同向耦合为初始值问题（已知z=0处振幅），反向耦合为边值问题（已知两端边界条件）；
3. 功率交换：同向耦合功率周期性交换，反向耦合功率单向转移（随长度单调增加）；
4. 完全转移条件：同向耦合在z=l c^PM时完全转移，反向耦合在l→∞时接近完全转移；
5. 应用场景：同向耦合用于定向耦合器、光开关，反向耦合用于DBR反射器。

简答题4：简述DBR（分布式布拉格反射器）的工作原理与核心特性。

标准回答：

1. 工作原理：DBR基于光栅波导的反向耦合机制，光栅提供周期扰动Δε，使导模的前向传播模式与后向传播模式满足布拉格条件（$\beta_B=qK/2$），实现相位匹配的反向耦合，前向光能量转移到后向光，形成强反射。

2. 核心特性：① 频率选择性：仅在布拉格波长λB附近有高反射率（窄带滤波）；② 反射率特性：反射率随光栅长度单调增加（$tanh²(

   κ

   l)$），l足够长时接近100%；③ 应用核心：为激光器提供光反馈，替代传统法布里-珀罗镜，实现单频、窄线宽激光输出。

简答题5：定向耦合器的超模概念是什么？如何基于定向耦合器实现光开关功能？

标准回答：

1. 超模概念：超模是定向耦合器（复合波导结构）的本征模，是两个单波导基模的线性组合，包括对称超模（$\mathcal{E}{even}=(\mathcal{E}_a+\mathcal{E}_b)/\sqrt{2}$，$\beta{even}=\beta₀+κ$）和反对称超模（$\mathcal{E}{odd}=(\mathcal{E}_a-\mathcal{E}_b)/\sqrt{2}$，$\beta{odd}=\beta₀-κ$），光场能量交换源于两超模的相位差累积。
2. 光开关实现：① 交叉态（无外场）：δ=0（相位匹配），耦合长度l=lc^PM时，能量从输入波导完全转移到另一波导；② 平行态（加外场）：通过电光效应改变某一波导折射率，引入相位失配δ=√3κ，此时βc=2κ，η=sin²(2κl)=0，能量无转移，保持在输入波导；③ 核心是通过外场调节相位失配，切换“交叉”与“平行”状态。

五、备考使用说明

1. 术语表：优先背诵高频术语（耦合系数、相位匹配、DBR、定向耦合器），物理意义结合公式理解；
2. 公式大全：聚焦核心公式（耦合模方程、功率公式、布拉格条件、耦合效率），明确符号含义，避免单位错误；
3. 计算题：先掌握基础题型（耦合系数、功率变化、耦合长度），再突破综合题型（光开关、DBR带宽），重点练习步骤规范性；
4. 简答题：直接背诵标准回答，答题时按“核心要点+展开说明”结构呈现，确保逻辑清晰。